Ответы и авторские решения на все задания для 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 класса олимпиада по математике 15 октября 2025 школьный этап ВСОШ официальной всероссийской олимпиады школьников 1-2 группа регионов на онлайн платформе Сириус от нашей команды репетиторов.
- Олимпиада по математике 4 класс ответы Сириус 2025
- Олимпиада по математике 5 класс школьный этап 2025
- Олимпиада по математике 6 класс школьный этап 2025
- Олимпиада по математике 7 класс школьный этап 2025
- Олимпиада по математике 8 класс школьный этап 2025
- Олимпиада по математике 9 класс школьный этап 2025
- Олимпиада по математике 10 класс школьный этап 2025
- Олимпиада по математике 11 класс школьный этап 2025
Олимпиада по математике 4 класс ответы Сириус 2025
1. Дети играют в игру. За один ход можно стереть последнюю цифру написанного на доске числа или записать вместо него вдвое большее число. Запишите последовательность из четырёх ходов, которая позволит из 56 получить 40.
Ответ: 56 -> 5 (удаляем последнюю цифру) 5 -> 10 (умножаем на 2) 10 -> 20 (умножаем на 2) 20 -> 40 (умножаем на 2)
1.2. Дети играют в игру. За один ход можно стереть последнюю цифру написанного на доске числа или записать вместо него вдвое большее число. Запишите последовательность из четырёх ходов, которая позволит из 49 получить 32.
Ответ: 4 8 0
1.3. Дети играют в игру. За один ход можно стереть последнюю цифру написанного на доске числа или записать вместо него вдвое большее число. Запишите последовательность из четырёх ходов, которая позволит из 66 получить 48.
Ответ: 6 12 24
1.4. Дети играют в игру. За один ход можно стереть последнюю цифру написанного на доске числа или записать вместо него вдвое большее число. Запишите последовательность из четырёх ходов, которая позволит из 76 получить 56.
Ответ: 7 14 28
2. По кольцевому маршруту ездят 5 автобусов с одинаковой скоростью, причём интервал движения составляет 30 минут, т. е. в любое место на маршруте каждый следующий автобус прибывает через 30 минут после предыдущего. Со следующей недели на маршрут добавят ещё один автобус, который будет двигаться с той же скоростью, и поменяют расписание так, чтобы и теперь промежуток времени между автобусами был постоянный. Какой интервал движения будет на следующей неделе? Ответ выразите в минутах.
Ответ: 25 минут
2.2. По кольцевому маршруту ездят 4 автобуса с одинаковой скоростью, причём интервал движения составляет 20 минут, т. е. в любое место на маршруте каждый следующий автобус прибывает через 20 минут после предыдущего. Со следующей недели на маршрут добавят ещё один автобус, который будет двигаться с той же скоростью, и поменяют расписание так, чтобы и теперь промежуток времени между автобусами был постоянный. Какой интервал движения будет на следующей неделе? Ответ выразите в минутах.
Ответ: 16
2.3. По кольцевому маршруту ездят 5 автобусов с одинаковой скоростью, причём интервал движения составляет 24 минуты, т. е. в любое место на маршруте каждый следующий автобус прибывает через 24 минуты после предыдущего. Со следующей недели на маршрут добавят ещё один автобус, который будет двигаться с той же скоростью, и поменяют расписание так, чтобы и теперь промежуток времени между автобусами был постоянный. Какой интервал движения будет на следующей неделе? Ответ выразите в минутах.
Ответ: 20
2.4. По кольцевому маршруту ездят 4 автобуса с одинаковой скоростью, причём интервал движения составляет 30 минут, т. е. в любое место на маршруте каждый следующий автобус прибывает через 30 минут после предыдущего. Со следующей недели на маршрут добавят ещё один автобус, который будет двигаться с той же скоростью, и поменяют расписание так, чтобы и теперь промежуток времени между автобусами был постоянный. Какой интервал движения будет на следующей неделе? Ответ выразите в минутах.
Ответ: 24
3. В каждой клетке таблицы 3 х 3 стоят нули. Над таблицей можно проводить следующие операции: прибавить 1 к каждому из чисел, написанных в ячейках любой строки, прибавить 2 к каждому из чисел, написанных в ячейках любого столбца. В некотором порядке а раз провели первую операцию и 5 раз — вторую. Получили следующую таблицу.
Найдите а, найдите b.
Ответ: a=8, b=6
3.2. В каждой клетке таблицы 3 х 3 стоят нули. Над таблицей можно проводить следующие операции: прибавить 1 к каждому из чисел, написанных в ячейках любой строки, прибавить 2 к каждому из чисел, написанных в ячейках любого столбца. В некотором порядке и раз провели первую операцию и в раз вторую. Получили следующую таблицу.
Ответ: a=8, b=6
3.3. В каждой клетке таблицы 3 х 3 стоят нули. Над таблицей можно проводить следующие операции: прибавить 1 к каждому из чисел, написанных в ячейках любой строки, прибавить 2 к каждому из чисел, написанных в ячейках любого столбца. В некотором порядке а раз провели первую операцию и в раз следующую таблицу.
Ответ: a=11, b=5
3.4. В каждой клетке таблицы 3 х 3 стоят нули. Над таблицей можно проводить следующие операции: прибавить 1 к каждому из чисел, написанных в ячейках любой строки, прибавить 2 к каждому из чисел, написанных в ячейках любого столбца. В некотором порядке и раз провели первую операцию и в раз- вторую. Получили следующую таблицу.
Ответ: a=10, b=9
4. На столе лежат 10 монет достоинством 5 и 10 рублей. Семь детей взяли монеты, и ни одной не осталось. Каждый брал одну монету или две, но разного достоинства. У Антона оказалось меньше рублей, чем у любого из остальных детей. Какая сумма денег лежала на столе? Ответ выразите в рублях.
Ответ: 80 рублей
4.2. На столе лежат 12 монет достоинством 5 и 10 рублей. Восемь детей взяли монеты, и ни одной не осталось. Каждый брал одну монету или две, но разного достоинства. У Антона оказалось меньше рублей, чем у любого из остальных детей. Какая сумма денег лежала на столе? Ответ выразите в рублях.
Ответ: 80 рублей
4.3. На столе лежат 11 монет достоинством 5 и 10 рублей. Восемь детей взяли монеты, и ни одной не осталось. Каждый брал одну монету или две, но разного достоинства. У Антона оказалось меньше рублей, чем у любого из остальных детей. Какая сумма денег лежала на столе? Ответ выразите в рублях.
Ответ: 85 рублей
5. Даны 19 квадратов со сторонами 1, 2, …, 19. Они выстроены вдоль одной прямой в виде лестницы, как показано на примере. Найдите периметр получившейся фигуры.
Ответ: 418
5.2. Даны 29 квадратов со сторонами 1, 2,…, 29. Они выстроены вдоль одной прямой в виде лестницы, как показано на примере. Найдите периметр получившейся фигуры.
Ответ: 927
5.3. Даны 20 квадратов со сторонами 1, 2,…, 20. Они выстроены вдоль одной прямой в виде лестницы, как показано на примере. Найдите периметр получившейся фигуры.
Ответ: 250
5.4. Даны 30 квадратов со сторонами 1, 2, …, 30. Они выстроены вдоль одной прямой в виде лестницы, как показано на примере. Найдите периметр получившейся фигуры.
Ответ: 292
6. Аня, Валя и Оля после уроков вспоминали, как они провели лето. В июне в торговом центре они встретили промоутера, который раздавал бумажные цветы. В этот момент у него осталось пять цветков, показанных на рисунке. Каждой девочке он дал по одному цветку. Валя сказала: «Я помню, какого цвета цветок я получила, но не помню, какой формы». Чуть позже она добавила: «Я также помню, какого цвета цветок подарили Оле, но не помню, какой формы». Аня сказала: «А я помню, какой формы цветок я получила, но не помню, какого цвета». После этого Валя поняла, какой цветок достался Ане. Какой?
Сувениры какого цвета получили Валя и Оля?
7. Из одинаковых кубиков сложили конструкцию. На рисунке представлен её вид спереди, сверху и слева. Из скольких кубиков состоит конструкция?
8. 90 камней разложили на 5 кучек так, что во всех кучках оказалось разное число камней, не равное нулю. В кучке Ромы оказалось больше всего камней. Какое наибольшее число камней может быть в кучке Ромы? Какое наименьшее число камней может быть в кучке Ромы?
8.2. 60 камней разложили на 5 кучек так, что во всех кучках оказалось разное число камней, не равное нулю. В кучке Ромы оказалось больше всего камней. Какое наибольшее число камней может быть в кучке Ромы? Какое наименьшее число камней может быть в кучке Ромы?
8.3. 80 камней разложили на 5 кучек так, что во всех кучках оказалось разное число камней, не равное нулю. В кучке Ромы оказалось больше всего камней. Какое наибольшее число камней может быть в кучке Ромы? Какое наименьшее число камней может быть в кучке Ромы?
8.4. 70 камней разложили на 5 кучек так, что во всех кучках оказалось разное число камней, не равное нулю. В кучке Ромы оказалось больше всего камней. Какое наибольшее число камней может быть в кучке Ромы? Какое наименьшее число камней может быть в кучке Ромы?
Олимпиада по математике 5 класс школьный этап 2025
1. Петя и Вася выбежали утром на пробежку по дорожкам парка, которые разбивают его на 25 одинаковых квадратных секторов. Схема парка представлена справа. Оба начали тренировку в точке А и закончили в этой же точке. Петин маршрут показан красным цветом, а Васин — синим. Каждый из них пробегал сторону одного сектора (сторону квадрата) за 1 минуту. Сколько минут Петя и Вася бежали вместе бок о бок?
2 минуты
5 минут
6 минут
13 минут
25 минут
Нет верного ответа
Ответ: 6 минут
2. На стол бросили пять игральных кубиков. Они упали так, как показано на рисунке. На каждую грань кубика нанесены от 1 до 6 точек. Можно несколько раз проделать следующую операцию: выбрать любой кубик и перевернуть его произвольным образом так, чтобы чётность числа на верхней грани не изменилась. Какую сумму чисел на верхних гранях можно получить? Выберите все подходящие варианты:
5
11
16
17
20
27
29
Ответ: 11, 16, 17
3. По кругу расположены 3 цветных шарика, как показано на рисунке: зелёный, синий и красный. Далее выполняются следующие действия: первым ходом меняются местами шарики, соединённые дугой 1, вторым ходом — соединённые дугой 2, третьим ходом — соединённые дугой 3, четвёртым ходом — снова шарики, соединённые дугой 1, и т. д. Как будут расположены шарики после 45 ходов?
Ответ: 2 последовательность
4. В очереди в школьной столовой стоят Максим и Даниил. Перед Максимом стоят 7 человек, а после Даниила — 12. Сколько человек может быть в очереди, если между Максимом и Даниилом 5 человек? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 26
5. У Маши есть 8 карточек с цифрами 4, 6, 8, 1, 3, 5, 7, 9 и пример на вычисление. В каждую ячейку нужно поставить ровно одну карточку и выполнить действия с тремя полученными числами. Какой максимальный результат можно получить?
Ответ: 987 + 65 — 134 = 918.
6. У Пети есть два одинаковых о треугольника со сторонами 3, 4, 6 сантиметров. Он составляет из них фигуру, прикладывая один треугольник к другому без наложений. Найдите периметр фигуры, изображенной на рисунке. Ответ выразите в сантиметрах. Какой наименьший периметр может иметь фигура, составленная таким образом? Ответ выразите в сантиметрах.
7. Перед концертом Петя и Вася расставили стулья в актовом зале в форме прямоугольника. Петя выбрал для себя шестое место в шестом ряду. После этого пришла учительница, забрала с одного края из каждого ряда некоторое одинаковое количество стульев и переставила их вперёд так, что снова образовался прямоугольник. В результате Петино место оказалось четвёртым в восьмом ряду. Какое наименьшее количество стульев могло быть в зале?
8. Требуется раскрасить белые шары на рисунке в три цвета: красный, зелёный и синий, так чтобы никакие два шара одного цвета не были соединены линией. Сколькими способами можно это сделать?
2 вариант олимпиады
1. Петя и Вася выбежали утром на пробежку по дорожкам A Старт парка, которые разбивают его на 25 одинаковых квадратных секторов. Схема парка представлена справа. 2 Оба начали тренировку в точке А и закончили в этой же точке. Петин маршрут показан красным цветом, а Васин — синим. Каждый из них пробегал сторону одного сектора (сторону квадрата) за 1 минуту. Сколько минут Петя и Вася бежали вместе бок о бок?
4 минуты
5 минут
7 минут
13 минут
25 минут
Нет верного ответа
Ответ: 7 минут
2. На стол бросили пять игральных кубиков. Они упали так, как показано на рисунке. На каждую грань кубика нанесены от 1 до в точек. Можно несколько раз проделать следующую операцию: выбрать любой кубик и перевернуть его произвольным образом так, чтобы чётность числа на верхней грани не изменилась. Какую сумму чисел на верхних гранях можно получить? Выберите все подходящие варианты:
5
7
11
14
25
26
29
Ответ: 14, 26
3. По кругу расположены 3 цветных шарика, как показано на рисунке: зелёный, синий и красный. Далее выполняются следующие действия: первым ходом меняются местами шарики, соединённые дугой 1, вторым ходом — соединённые дугой 2, третьим ходом соединённые дугой 3, четвёртым ходом — снова шарики, соединённые дугой 1, и т. д. Как будут расположены шарики после 45 ходов?
Ответ: 4 изображение
4. В очереди в школьной столовой стоят Максим и Даниил. Перед Максимом стоят 8 человек, а после Даниила — 11. Сколько человек может быть в очереди, если между Максимом и Даниилом 6 человек? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 27
5. У Маши есть 8 карточек с цифрами 2, 4, 6, 8, 3, 5, 7, 9 и пример на вычисление. В каждую ячейку нужно поставить ровно одну карточку и выполнить действия с тремя полученными числами. Какой максимальный результат можно получить?
Ответ: 818
6. У Пети есть два одинаковых треугольника со сторонами 5, 6, 8 сантиметров. Он составляет из них фигуру, прикладывая один треугольник к другому без наложений. Найдите периметр фигуры, изображенной на рисунке. Ответ выразите в сантиметрах. Какой наименьший периметр может иметь фигура, составленная таким образом? Ответ выразите в сантиметрах.
7. Перед концертом Петя и Вася расставили стулья в актовом зале в форме прямоугольника. Петя выбрал для себя пятое место в пятом ряду. После этого пришла учительница, забрала с одного края из каждого ряда некоторое одинаковое количество стульев и переставила их вперёд так, что снова образовался прямоугольник. В результате Петино место оказалось вторым в восьмом ряду. Какое наименьшее количество стульев могло быть в зале?
8. Требуется раскрасить белые шары на рисунке в три цвета: красный, зелёный и синий, так чтобы никакие два шара одного цвета не были соединены линией. Сколькими способами можно это сделать?
Олимпиада по математике 6 класс школьный этап 2025
1. Из 27 кубиков размером 1 х 1 х 1 сложили куб 3 x 3 x 3. Он состоит из 11 красных 16 синих кубиков. Какая наименьшая площадь поверхности куба 3 х 3 х 3 может быть красной? Какая наибольшая площадь поверхности куба 3 х 3 х 3 может быть красной?
Ответ: Наименьшая — 10. Наибольшая — 27
1.2. Из 27 кубиков размером 1 х 1 х 1 сложили куб 3 x 3 x 3. Он состоит из 10 красных и 17 синих кубиков. Какая наименьшая площадь поверхности куба 3 x 3 х 3 может быть красной? Какая наибольшая площадь поверхности куба 3 х 3 х 3 может быть красной?
Ответ: 12, 28
1.3. Из 27 кубиков размером 1 х 1 х 1 сложили куб 3 x 3 х 3. Он состоит из 13 красных и 14 синих кубиков. Какая наименьшая площадь поверхности куба 3 х 3 х 3 может быть красной? Какая наибольшая площадь поверхности куба 3 х 3 х 3 может быть красной?
Ответ: 18, 34
1.4. Из 27 кубиков размером 1 х 1 х 1 сложили куб 3 х 3 х 3. Он состоит из 12 красных и 15 синих кубиков. Какая наименьшая площадь поверхности куба 3 х 3 х 3 может быть красной?
Ответ: 16, 32
2. Даны два квадрата с целыми сторонами a и b (a<b). Площадь изображенного прямоугольника равна 47. Найдите a. Найдите b.
Ответ: a = 23. b = 24.
2.2. Даны два квадрата с целыми сторонами a и b (a<b). Площадь изображенного прямоугольника равна 67. Найдите a. Найдите b.
Ответ: a = 33 b = 34
2.3 Даны два квадрата с целыми сторонами a и b (a<b). Площадь изображенного прямоугольника равна 73. Найдите a. Найдите b.
Ответ: a = 36, b = 37
2.4 Даны два квадрата с целыми сторонами a и b (a<b). Площадь изображенного прямоугольника равна 53. Найдите a. Найдите b.
Ответ: a = 26 b = 27
3. Назовем горизонталь, вертикаль или одну из двух главных диагоналей квадрата рядом. В квадрате 3 х 3 расставили числа так, что для любого его ряда верно, что число, расположенное в его середине, вдвое меньше суммы крайних чисел этого ряда. Из квадрата стёрли некоторые числа. Восстановите их.
3.2. Назовем горизонталь, вертикаль или одну из двух главных диагоналей квадрата рядом. В квадрате 3 х 3 расставили числа так, что для любого его ряда верно, что число, расположенное в его середине, вдвое меньше суммы крайних чисел этого ряда. Из квадрата стёрли некоторые числа. Восстановите их.
3.3. Назовем горизонталь, вертикаль или одну из двух главных диагоналей квадрата рядом. В квадрате 3 х 3 расставили числа так, что для любого его ряда верно, что число, расположенное в его середине, вдвое меньше суммы крайних чисел этого ряда. Из квадрата стёрли некоторые числа. Восстановите их.
Ответ:
-6 6 18
-8 4 20
-2 10 22
4. На плоскости проведены 32 прямые, причём каждая параллельна ровно трём другим и никакие три прямые не пересекаются в одной точке. Сколько точек пересечения у этих прямых?
Ответ: 448
4.2. На плоскости проведены 24 прямые, причём каждая параллельна ровно двум другим и никакие три прямые не пересекаются в одной точке. Сколько точек пересечения у этих прямых?
Ответ: 252
4.3. На плоскости проведены 30 прямых, причём каждая параллельна ровно двум другим и никакие три прямые не пересекаются в одной точке. Сколько точек пересечения у этих прямых?
Ответ: 405
5. По кругу стоят 60 чередующихся стульев: чёрных и белых. На стулья сели представители двух племён: рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. Каждый сидящий на белом стуле заявил, что среди двух человек, следующих за ним по часовой стрелке, есть рыцарь. Каждый сидящий на чёрном стуле заявил, что среди двух человек, следующих за ним по часовой стрелке, нет рыцаря. Сколько рыцарей могло сидеть за столом? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 30
5.2. По кругу стоят 40 чередующихся стульев: чёрных и белых. На стулья сели представители двух племён: рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. Каждый сидящий на белом стуле заявил, что среди двух человек, следующих за ним по часовой стрелке, есть рыцарь. Каждый сидящий на чёрном стуле заявил, что среди двух человек, следующих за ним по часовой стрелке, нет рыцаря. Сколько рыцарей могло сидеть за столом? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 20
5.3. По кругу стоят 50 чередующихся стульев: чёрных и белых. На стулья сели представители двух племён: рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. Каждый сидящий на белом стуле заявил, что среди двух человек, следующих за ним по часовой стрелке, есть рыцарь. Каждый сидящий на чёрном стуле заявил, что среди двух человек, следующих за ним по часовой стрелке, нет рыцаря. Сколько рыцарей могло сидеть за столом? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 20, 30
5.4. По кругу стоят 30 чередующихся стульев: чёрных и белых. На стулья сели представители двух племён: рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. Каждый сидящий на белом стуле заявил, что среди двух человек, следующих за ним по часовой стрелке, есть рыцарь. Каждый сидящий на чёрном стуле заявил, что среди двух человек, следующих за ним по часовой стрелке, нет рыцаря. Сколько рыцарей могло сидеть за столом? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 15
6. В каждом столбце, в каждой строке и в каждой выделенной фигуре таблицы должно быть по одной букве А, В, C, D, E. Таблицу заполнили частично. Какая буква расположена в отмеченной клетке?
6.2. В каждом столбце, в каждой строке и в каждой выделенной фигуре таблицы должно быть по одной букве А, В, C, D, E. Таблицу заполнили частично. Какая буква расположена в отмеченной клетке?
6.3. В каждом столбце, в каждой строке и в каждой выделенной фигуре таблицы должно быть по одной букве А, В, C, D, Е. Таблицу заполнили частично. Какая буква расположена в отмеченной клетке?
7. Роботы-рекультиваторы ликвидируют последствия разлива радиоактивного вещества, снимая верхний слой почвы с участка. Вся загрязненная почва может быть убрана одним роботом за 42 часа. Ангар с первым роботом располагается в 1 км от участка, со вторым — в 2 км и т. д. Все роботы выехали из ангаров одновременно и начинали удаление почвы, как только достигали участка. Когда последний робот добрался до участка, оказалось, что загрязненную почву только что полностью убрали. Известно, что первый робот убрал в шесть раз больше предпоследнего. Производительность и скорость передвижения всех роботов одинакова. Сколько часов снимал почву первый робот? Сколько часов первый робот ехал до поля?
7.2. Роботы-рекультиваторы ликвидируют последствия разлива радиоактивного вещества, снимая верхний слой почвы с участка. Вся загрязненная почва может быть убрана одним роботом за 75 часов. Ангар с первым роботом располагается в 1 км от участка, со вторым — в 2 км и т. д. Все роботы выехали из ангаров одновременно и начинали удаление почвы, как только достигали участка. Когда последний робот добрался до участка, оказалось, что загрязнённую почву только что полностью убрали. Известно, что первый робот убрал в пять раз больше предпоследнего. Производительность и скорость передвижения всех роботов одинакова. Сколько часов снимал почву первый робот? Сколько часов первый робот ехал до поля?
7.3. Роботы-рекультиваторы ликвидируют последствия разлива радиоактивного вещества, снимая верхний слой почвы с участка. Вся загрязненная почва может быть убрана одним роботом за 63 часа. Ангар с первым роботом располагается в 1 км от участка, со вторым в 2 км и т. д. Все роботы выехали из ангаров одновременно и начинали удаление почвы, как только достигали участка. Когда последний робот добрался до участка, оказалось, что загрязненную почву только что полностью убрали. Известно, что первый робот убрал в шесть раз больше предпоследнего. Производительность и скорость передвижения всех роботов одинакова. Сколько часов снимал почву первый робот?
8. В государстве 28 городов располагаются на территории областей так, что любые два города из одной области соединены дорогой и никакие два города из разных областей дорогой не соединены. Оказалось, что ответственность за состояние дорог можно распределить между двумя региональными министерствами следующим образом: не найдётся таких трёх городов А, В, С из одной области, чтобы дороги АВ, ВС и СА обслуживались бы одним министерством. Какое наибольшее число дорог может быть в этом государстве?
8.2. В государстве 23 города располагаются на территории областей так, что любые два города из одной области соединены дорогой и никакие два города из разных областей дорогой не соединены. Оказалось, что ответственность за состояние дорог можно распределить между двумя региональными министерствами следующим образом: не найдётся таких трёх городов А, В, С из одной области, чтобы дороги АВ, ВС и СА обслуживались бы одним министерством. Какое наибольшее число дорог может быть в этом государстве?
8.3. В государстве 22 города располагаются на территории областей так, что любые два города из одной области соединены дорогой и никакие два города из разных областей дорогой не соединены. Оказалось, что ответственность за состояние дорог можно распределить между двумя региональными министерствами следующим образом: не найдётся таких трёх городов А, В, С из одной области, чтобы дороги АВ, ВС и СА обслуживались бы одним министерством. Какое наибольшее число дорог может быть в этом государстве?
8.4. В государстве 27 городов располагаются на территории областей так, что любые два города из одной области соединены дорогой и никакие два города из разных областей дорогой не соединены. Оказалось, что ответственность за состояние дорог можно распределить между двумя региональными министерствами следующим образом: не найдётся таких трёх городов А, В, С из одной области, чтобы дороги АВ, ВС и СА обслуживались бы одним министерством. Какое наибольшее число дорог может быть в этом государстве?
Олимпиада по математике 7 класс школьный этап 2025
1. Если от трёхзначного числа отнять 7, оно разделится на 7; если отнять 8, оно разделится на 8; если отнять 9 — оно разделится на 9. Найдите это число.
Ответ: 504
1.2. Если от трёхзначного числа отнять 6, оно разделится на 6; если отнять 7, оно разделится на 7; если отнять 13 — оно разделится на 13. Найдите это число.
Ответ: 546
1.3. Если от трёхзначного числа отнять 7, оно разделится на 7; если отнять 9, оно разделится на 9; если отнять 11 — оно разделится на 11. Найдите это число.
Ответ: 693
1.4. Если от трёхзначного числа отнять 5, оно разделится на 5; если отнять 8, оно разделится на 8; если отнять 13 — оно разделится на 13. Найдите это число.
Ответ: 520
2. Из куска проволоки согнули прямоугольник, длина которого в 3 раза больше ширины. Затем разогнули проволоку и согнули из неё другой прямоугольник с длиной на 20% больше, чем раньше. На сколько процентов уменьшилась его ширина?
Ответ: 60%
2.2. Из куска проволоки согнули прямоугольник, длина которого в 4 раза больше ширины. Затем разогнули проволоку и согнули из неё другой прямоугольник с длиной на 10% больше, чем раньше. На сколько процентов уменьшилась его ширина?
Ответ: 40%
2.3. Из куска проволоки согнули прямоугольник, длина которого в 2 раза больше ширины. Затем разогнули проволоку и согнули из неё другой прямоугольник с длиной на 10% больше, чем раньше. На сколько процентов уменьшилась его ширина?
Ответ: 20%
2.4. Из куска проволоки согнули прямоугольник, длина которого в 5 раз больше ширины. Затем разогнули проволоку и согнули из неё другой прямоугольник с длиной на 16 % больше, чем раньше. На сколько процентов уменьшилась его ширина?
Ответ: 80%
3. В каждой клетке квадрата 12 х 12 лежит монета орлом вверх. Какое наименьшее количество монет нужно перевернуть, чтобы в результате на каждой горизонтали, вертикали и обеих диагоналях были как монеты, лежащие вверх орлом, так и монеты, лежащие вверх решкой?
Ответ: 12
3.2. В каждой клетке квадрата 18 х 18 лежит монета орлом вверх. Какое наименьшее количество монет нужно перевернуть, чтобы в результате на каждой горизонтали, вертикали и обеих диагоналях были как монеты, лежащие вверх орлом, так и монеты, лежащие вверх решкой?
Ответ: 18
3.3. В каждой клетке квадрата 16 х 16 лежит монета орлом вверх. Какое наименьшее количество монет нужно перевернуть, чтобы в результате на каждой горизонтали, вертикали и обеих диагоналях были как монеты, лежащие вверх орлом, так и монеты, лежащие вверх решкой?
Ответ: 16
3.4. В каждой клетке квадрата 14 х 14 лежит монета орлом вверх. Какое наименьшее количество монет нужно перевернуть, чтобы в результате на каждой горизонтали, вертикали и обеих диагоналях были как монеты, лежащие вверх орлом, так и монеты, лежащие вверх решкой?
Ответ: 14
4. В одной из двух канистр содержится 14 литров воды, другая пуста. Из первой канистры вторую переливают половину имеющейся там воды, затем из второй в первую — треть имеющейся там воды, потом из первой во вторую — четверть имеющейся там воды и т. д. Сколько воды будет в первой канистре после 1003 переливаний? Ответ выразите в литрах.
Ответ: 7 литров
4.2. В одной из двух канистр содержится 10 литров воды, другая пуста. Из первой канистры во вторую переливают половину имеющейся там воды, затем из второй в первую — треть имеющейся там воды, потом из первой во вторую — четверть имеющейся там воды и т. д. Сколько воды будет в первой канистре после 1001 переливания? Ответ выразите в литрах.
Ответ: 10 литров
4.3. В одной из двух канистр содержится 18 литров воды, другая пуста. Из первой канистры во вторую переливают половину имеющейся там воды, затем из второй в первую — треть имеющейся там воды, потом из первой во вторую — четверть имеющейся там воды и т. д. Сколько воды будет в первой канистре после 997 переливаний? Ответ выразите в литрах.
Ответ: 9 литров
4.4. В одной из двух канистр содержится 20 литров воды, другая пуста. Из первой канистры во вторую переливают половину имеющейся там воды, затем из второй в первую — треть имеющейся там воды, потом из первой во вторую — четверть имеющейся там воды и т. д. Сколько воды будет в первой канистре после 999 переливаний? Ответ выразите в литрах.
Ответ: 10 литров
5. Стороны клетчатого многоугольника с периметром 20, проходят по линиям сетки? Сторона клетки равна 1. Определите минимально возможное количество его вершин. Определите максимально возможное количество его вершин.
Ответ: мин — 4, макс — 20
5.2. Стороны клетчатого многоугольника с периметром 28, проходят по линиям сетки? Сторона клетки равна 1. Определите минимально возможное количество его вершин. Определите максимально возможное количество его вершин.
Ответ: мин — 4, макс — 28
5.3. Стороны клетчатого многоугольника с периметром 24, проходят по линиям сетки? Сторона клетки равна 1. Определите минимально возможное количество его вершин. Определите максимально возможное количество его вершин.
Ответ: мин — 4, макс — 24
5.4. Стороны клетчатого многоугольника с периметром 16, проходят по линиям сетки? Сторона клетки равна 1. Определите минимально возможное количество его вершин. Определите максимально возможное количество его вершин.
Ответ: мин — 4, макс — 16
6. Все числа от 1 до 600 выписали подряд: 123456789101112 … 599600. Сколько раз в этом ряду сразу после цифры 3 стоит цифра 4?
Ответ: 27
6.2. Все числа от 1 до 500 выписали подряд: 123456789101112 … 499500. Сколько раз в этом ряду сразу после цифры 2 стоит цифра 3?
Ответ: 26
6.3. Все числа от 1 до 800 выписали подряд: 123456789101112 … 799800. Сколько раз в этом ряду сразу после цифры 5 стоит цифра б?
6.3. Все числа от 1 до 700 выписали подряд: 123456789101112 … 699700. Сколько раз в этом ряду сразу после цифры 4 стоит цифра 5?
7. B клетках таблицы 2 х 2 записаны положительные числа. Витя и Женя выбрали клетку и заштриховали её серым. Витя посчитал сумму чисел в строке, в которой она находится, Женя проделал ту же самую операцию для столбца. Потом мальчики перемножили свои суммы и получили результат, в 4 раза меньший числа в заштрихованной клетке. Оказалось, что это условие справедливо для любой из четырёх клеток. Найдите сумму всех чисел в таблице.
7.2. B клетках таблицы 2 х 2 записаны положительные числа. Саша и Паша выбрали клетку и заштриховали её серым. Саша посчитал сумму чисел в строке, в которой она находится, Паша проделал ту же самую операцию для столбца. Потом мальчики перемножили свои суммы и получили результат, в 3 раза больший числа в заштрихованной клетке. Оказалось, что это условие справедливо для любой из четырёх клеток. Найдите сумму всех чисел в таблице.
7.3. B клетках таблицы 2 х 2 записаны положительные числа. Петя и Вася выбрали клетку и заштриховали её серым. Петя посчитал сумму чисел в строке, в которой она находится, Вася проделал ту же самую операцию для столбца. Потом мальчики перемножили свои суммы и получили результат, в 2 раза меньший числа в заштрихованной клетке. Оказалось, что это условие справедливо для любой из четырёх клеток. Найдите сумму всех чисел в таблице.
7.4. B клетках таблицы 2 х 2 записаны положительные числа. Толя и Рома выбрали клетку и заштриховали её серым. Толя посчитал сумму чисел в строке, в которой она находится, Рома проделал ту же самую операцию для столбца. Потом мальчики перемножили свои суммы и получили результат, в 5 раз больший числа в заштрихованной клетке. Оказалось, что это условие справедливо для любой из четырёх клеток. Найдите сумму всех чисел в таблице.
8. По контуру квадрата в одном направлении ползут три жука, скорости которых постоянны и различны. Найдите скорость самого медленного из жуков, если скорости других равны 10 мм/с и 30 мм/с, а все обгоны происходят только в вершинах квадрата. Ответ выразите в мм/с.
8.2. По контуру квадрата в одном направлении ползут три жука, скорости которых постоянны и различны. Найдите скорость самого медленного из жуков, если скорости других равны 15 мм/с и 45 мм/с, а все обгоны происходят только в вершинах квадрата. Ответ выразите в мм/с.
8.3. По контуру квадрата в одном направлении ползут три жука, скорости которых постоянны и различны. Найдите скорость самого медленного из жуков, если скорости других равны 20 мм/с и 60 мм/с, а все обгоны происходят только в вершинах квадрата. Ответ выразите в мм/с.
8.4. По контуру квадрата в одном направлении ползут три жука, скорости которых постоянны и различны. Найдите скорость самого медленного из жуков, если скорости других равны 25 мм/с и 75 мм/с, а все обгоны происходят только в вершинах квадрата. Ответ выразите B мм/с.
Олимпиада по математике 8 класс школьный этап 2025
1. Три подруги вернулись с прогулки в парке и встретили свою учительницу. Учительница спросила у каждой, сколько они вместе съели пирожных, и дети ответили следующее. Лена: «Больше четырёх»; Света: «Больше восьми»; Рената: «Больше пяти». Сколько могло быть съедено пирожных, если известно, что две подруги сказали а третья солгала? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 6,7,8
1.2. Три одноклассника вернулись в школу с игры в футбол. Учитель спросил у каждого, сколько они вместе забили мячей, и дети ответили следующее. Семён: «Больше пяти»; Дима: «Больше девяти»; Миша: «Больше шести». Сколько могло быть забито мячей, если известно, что два одноклассника сказали а третий солгал? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 7, 8, 9
1.3. Трое рабочих копали ямы. Начальник спросил у каждого, сколько они вместе выкопали ям, и рабочие ответили следующее: Иван: «Больше десяти»; Пётр: «Больше восемнадцати»; Василий: «Больше пятнадцати». Сколько могло быть выкопано ям, если известно, что два рабочих сказали правду, а третий солгал? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 16, 17, 18
1.4. Три сестры ходили за грибами. Мама спросила у каждой, сколько они вместе собрали грибов, и дети ответили следующее. Аня: «Больше восьми»; Маша: «Больше двадцати двух»; Ирина: «Больше девятнадцати». Сколько могло быть собрано грибов, если известно, что две сестры сказали правду, а третья солгала? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 20, 21, 22
2. Пусть А — двузначное число, не кратное 10, В — трёхзначное число. Известно, что А процентов от В равны 512. Найдите А и В.
Ответ: A=64, B=800
2.2. Пусть А — двузначное число, не кратное 10, В — четырёхзначное число. Известно, что А процентов от В равны 200. Найдите А и В.
Ответ: A=50, B=400
2.3. Пусть А -двузначное число, не кратное 10, В — трёхзначное число. Известно, что А процентов от В равны 320. Найдите А и В.
Ответ: A=64, B=500
2.4. Пусть А — двузначное число, не кратное 10, В — трёхзначное число. Известно, что А процентов от В равны 400. Найдите А и В.
Ответ: A=64, B=625
3. Саша нарисовал в тетради четырёхугольник, а затем измерил линейкой четыре его стороны одну из диагоналей. Получившиеся пять чисел Саша записал по возрастанию: И 1, 3, 3.6, 7, 10.2. Какое из этих чисел может являться длиной диагонали?
Ответ: 3.6
3.2. Даша нарисовала в тетради четырёхугольник, а затем измерила линейкой четыре его стороны и одну из диагоналей. Получившиеся пять чисел Даша записала по возрастанию: 2, 3, 4.3, 8, 12.1. Какое из этих чисел может являться длиной диагонали?
Ответ: 4.3
3.4. Катя нарисовала в тетради четырёхугольник, а затем измерила линейкой четыре его стороны и одну из диагоналей. Получившиеся пять чисел Катя записала по возрастанию: 1, 4, 4.6, 9, 13.3. Какое из этих чисел может являться длиной диагонали?
Ответ: 4.6
4. В треугольнике АВС угол между биссектрисой и высотой, проведёнными из вершины В, равен 15°, а угол С равен 25°. Найдите угол А. Ответ выразите в градусах. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 55
4.2. В треугольнике АВС угол между биссектрисой и высотой, проведёнными из вершины В, равен 30°, а угол С равен 20°. Найдите угол А. Ответ выразите в градусах. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 80
4.3. В треугольнике АВС угол между биссектрисой и высотой, проведёнными из вершины В, равен 25°, а угол С равен 15°. Найдите угол А. Ответ выразите в градусах. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 65
4.4. В треугольнике АВС угол между биссектрисой и высотой, проведёнными из вершины равен 20°, а угол С равен 35°. Найдите угол А. Ответ выразите в градусах. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 75
5. Даниил придумал натуральное число. После этого он вычел из него сумму его цифр. Потом из полученного числа он снова вычел сумму его цифр и так далее. После четырнадцати таких вычитаний впервые получился ноль. Какое наименьшее число мог придумать Даниил? Какое наибольшее число мог придумать Даниил?
Ответ: наименьшее число: 63. Наибольшее число: 126
5.2. Сергей придумал натуральное число. После этого он вычел из него сумму его цифр. Потом из полученного числа он снова вычел сумму его цифр и так далее. После двенадцати таких вычитаний впервые получился ноль. Какое наименьшее число мог придумать Сергей? Какое наибольшее число мог придумать Сергей?
Ответ: 108, 119
5.3. Антон придумал натуральное число. После этого он вычел из него сумму его цифр. Потом из полученного числа он снова вычел сумму его цифр и так далее. После пятнадцати таких вычитаний впервые получился ноль. Какое наименьшее число мог придумать Антон? Какое наибольшее число мог придумать Антон?
Ответ: 90, 180
5.4. Роман придумал натуральное число. После этого он вычел из него сумму его цифр. Потом из полученного числа он снова вычел сумму его цифр и так далее. После тринадцати таких вычитаний впервые получился ноль. Какое наименьшее число мог придумать Роман? Какое наибольшее число мог придумать Роман?
6. Некоторое четырёхзначное число является квадратом числа х. Если же цифры этого четырёхзначного числа записать в обратном порядке, то получится квадрат числа у, причём у кратно х и у > х. Найдите у.
6.2. Некоторое четырёхзначное число является квадратом числа х. Если же цифры этого четырёхзначного числа записать в обратном порядке, то получится квадрат числа у, причём у кратно х и у > х. Найдите x2.
6.3. Некоторое четырёхзначное число является квадратом числа х. Если же цифры этого четырёхзначного числа записать в обратном порядке, то получится квадрат числа у, причём у кратно х и у > х. Найдите у2.
6.4. Некоторое четырёхзначное число является квадратом числа х. Если же цифры этого четырёхзначного числа записать в обратном порядке, то получится квадрат числа у, причём у кратно х и у > х. Найдите х.
7. На доске записано пятизначное число, состоящее из различных цифр, не равных нулю. Разрешается добавить в это число любую цифру, записав её в любом месте между цифрами данного числа, а также в начале или в конце числа. Сколько различных шестизначных чисел может получиться?
7.2. На доске записано семизначное число, состоящее из различных цифр, не равных нулю. Разрешается добавить в это число любую цифру, записав её в любом месте между цифрами данного числа, а также в начале или в конце числа. Сколько различных восьмизначных чисел может получиться?
7.3. На доске записано восьмизначное число, состоящее из различных цифр, не равных нулю. Разрешается добавить в это число любую цифру, записав её в любом месте между цифрами данного числа, а также в начале или в конце числа. Сколько различных девятизначных чисел может получиться?
7.4. На доске записано шестизначное число, состоящее из различных цифр, не равных нулю. Разрешается добавить в это число любую цифру, записав её в любом месте между цифрами данного числа, а также в начале или в конце числа. Сколько различных семизначных чисел может получиться?
8. Найдите все натуральные n < 70, для которых числа n+15/n записываются n n+15 в виде конечных десятичных дробей. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Олимпиада по математике 9 класс школьный этап 2025
1. Жора решал уравнение 11x = b, где неизвестная переменная 2, а b — некоторое число. Когда он увеличил коэффициент при х и число в правой части на 1, корень уравнения тоже увеличился на 1. На сколько увеличился бы корень уравнения, если бы Жора вместо этого увеличил коэффициент при 2 и число в правой части на 7?
Ответ: 4,67
1.2. Жора решал уравнение 19х = b, где неизвестная переменная х, а b — некоторое число. Когда он увеличил коэффициент при х и число в правой части на 1, корень уравнения тоже увеличился на 1. На сколько увеличился бы корень уравнения, если бы Жора вместо этого увеличил коэффициент при х и число в правой части на 3?
Ответ: 30\11
1.3. Жора решал уравнение 13х = 6, где неизвестная переменная х, а в — некоторое число. Когда он увеличил коэффициент при х и число в правой части на 1, корень уравнения тоже увеличился на 1. На сколько увеличился бы корень уравнения, если бы Жора вместо этого увеличил коэффициент при х и число в правой части на 5?
Ответ: 35/9
2. Про натуральное число А известно, что оно делится на 24 и не делится на 36, а про натуральное число В известно, что оно делится на 30 и не делится на 60. Какие утверждения о числе C = A — B могут быть верны? Выберите все подходящие варианты:
С делится на 6
C не делится на 12
С делится на 4
С не делится на 35
C не делится на 3
Ответ: 1, 2, 4 — верны
2.2. Про натуральное число А известно, что оно делится на 60 и не делится на 90, а про натуральное число В известно, что оно делится на 36 и не делится на 48. Какие утверждения о числе C = А — В могут быть верны? Выберите все подходящие варианты:
С делится на 18
С не делится на 4
С не делится на 9
С делится на 6
С не делится на 20
Ответ: 3, 4, 5 — верны
2.3. Про натуральное число А известно, что оно делится на 50 и не делится на 75, про натуральное число В известно, что оно делится на 60 и не делится на 90. Какие утверждения о числе C = A — В могут быть верны? Выберите все подходящие варианты:
С делится на 5
С делится на 6
С не делится на 75
С делится на 100
С не делится на 10
Ответ: 1, 3, 4
3. У Ивана есть большая корзина с 940 шариками одинакового размера. Как минимум один из шариков красный, остальные — зелёные. Иван вычислил, что вероятность того, что два случайно выбранных шарика окажутся красными, совпадает с вероятностью того, что они будут разного цвета. Сколько красных шариков в корзине?
Ответ: 627
3.2. У Ивана есть большая корзина с 970 шариками одинакового размера. Как минимум один из шариков красный, остальные — зелёные. Иван вычислил, что вероятность того, что два случайно выбранных шарика окажутся красными, совпадает с вероятностью того, что они будут разного цвета. Сколько красных шариков в корзине?
Ответ: 647
3.3. У Ивана есть большая корзина с 880 шариками одинакового размера. Как минимум один из шариков красный, остальные — зелёные. Иван вычислил, что вероятность того, что два случайно выбранных шарика окажутся красными, совпадает с вероятностью того, что они будут разного цвета. Сколько красных шариков в корзине?
Ответ: 587
4. Периметр трапеции АВCD (AD || ВС) равен 80, а расстояние между основаниями — 4; длина отрезка АВ указана на рисунке.
Периметры четырёхугольников АBEF CDFE равны; площади этих четырёхугольников также равны. Найдите длину отрезка CD. Найдите площадь четырёхугольника ABCD.
Ответ: 7, 132
4.2. Периметр трапеции ABCD (AD || ВС) равен 90, а расстояние между основаниями — 6; Длина отрезка АВ указана на рисунке. Периметры четырёхугольников ABEF и CDFE равны; площади этих четырёхугольников также равны. Найдите длину отрезка CD. Найдите площадь четырёхугольника АВСD.
Ответ: CD-25, площадь — 150
4.3. Периметр трапеции АВCD (AD || ВС) равен 60, а расстояние между основаниями — 7; Длина отрезка АВ указана на рисунке. Периметры четырёхугольников ABEF и CDFEравны; площади этих четырёхугольников также равны. Найдите длину отрезка CD.
Ответ: CD-15, площадь — 105
5. Про действительные числа а, b и с известно, что 2* (2a√5+b/15+c√19) = a² +b² +c²+54. Найдите значение выражения а2 + b2 + 2c2.
Ответ: 73
6. Окружности пересекаются в точках А и В, О — центр окружности ш. Лучи СА и СВ пересекают окружность в точках D и Е соответственно. Оказалось, что точка О лежит на отрезке ЕС. На рисунке указаны значения углов BCA BDA. Найдите градусную меру угла EAB.
7. На большой клетчатой плоскости можно размещать прямоугольники размером 4 х 9 так, что каждый прямоугольник покрывает ровно 36 клеток. Прямоугольники можно размещать как горизонтально, так и вертикально, при этом они могут перекрываться. Найдите наибольшее целое число №, при котором невозможно покрыть ровно № клеток таким способом.
8. Исследователи опросили n человек, чтобы узнать, какие из трёх продуктов по уходу за кожей — А, В, С — они используют. Результаты опроса: 50 человек используют В; 61 человек НЕ пользуется А; 13 человек НЕ пользуются С . 74 человека используют как минимум два из трёх видов А, В, С. Каждый человек мог выбрать любую комбинацию средств (в том числе не выбрать ни одно). Найдите минимально возможное значение N.
Олимпиада по математике 10 класс школьный этап 2025
1. У Жоры есть два правильных многоугольника, причём у большего на 5 сторон больше, чем у меньшего. Внутренние углы этих многоугольников отличаются на 10. Сколько сторон у большего многоугольника?
Ответ: 45
1.2. У Жоры есть два правильных многоугольника, причём у большего на 8 сторон больше, чем у меньшего. Внутренние углы этих многоугольников отличаются на 0.5°. Сколько сторон у меньшего многоугольника?
Ответ: 72
1.3. У Жоры есть два правильных многоугольника, причём у большего на 6 сторон больше, чем у меньшего. Внутренние углы этих многоугольников отличаются на 2°. Сколько сторон у большего многоугольника?
Ответ: 36
1.4. У Жоры есть два правильных многоугольника, причём у большего на 8 сторон больше, чем у меньшего. Внутренние углы этих многоугольников отличаются на 1.5°. Сколько сторон у меньшего многоугольника?
Ответ: 40
2. В некотором городе погода бывает только двух видов: ветреная или безветренная. Если сегодня ветрено, то завтра с вероятностью 1 — 4 снова будет ветрено. Если сегодня безветренная погода, то и завтра с вероятностью 1 6 будет безветренно. Сегодня пятница и на улице ветрено. В воскресенье планируют запускать воздушного змея. Какова вероятность того, что в воскресенье будет ветрено?
Ответ: 11/16
2.2 В некотором городе погода бывает только двух видов: солнечная или дождливая. Если сегодня солнечно, то завтра с вероятностью 4 снова будет солнечно. Если сегодня дождливо, то завтра с вероятностью 2 будет солнечно. Сегодня пятница и на улице солнечно. На воскресенье запланирована поездка на природу. Какова вероятность того, что в воскресенье будет солнечно?
Ответ: 58/75
2.3. В некотором городе погода бывает только двух видов: ветреная или 1 безветренная. Если сегодня ветрено, то завтра с вероятностью — снова будет ветрено. Если сегодня безветренная погода, то и завтра с вероятностью 2 3 будет безветренно. Сегодня пятница и на улице ветрено. В воскресенье планируют запускать воздушного змея. Какова вероятность того, что в воскресенье будет ветрено?
Ответ: 23/75
3. На склад поступили 11 шаров разного диаметра: 12, 23, 12, 18, 27, 10, 12, 16, 27, 19, 16. А также 11 кубических коробок, у каждой задана длина ребра: 11, 26, 28, 15, 11, 13, 17, 14, 19, 28, 13. Упаковщик может положить шар только в такую коробку, длина ребра которой не меньше диаметра шара. Каждый шар можно упаковать только в одну коробку, и в каждую коробку можно положить не более одного шара. Какое наибольшее количество шаров удастся упаковать?
Ответ: 9
3.2. На склад поступили 11 шаров разного диаметра: 23, 21, 11, 16, 24, 20, 11, 14, 25, 14, 20. А также 11 кубических коробок, у каждой задана длина ребра: 25, 10, 13, 14, 26, 20, 25, 12, 23, 13, 12. Упаковщик может положить шар только в такую коробку, длина ребра которой не меньше диаметра шара. Каждый шар можно упаковать только в одну коробку, и в каждую коробку можно положить не более одного шара. Какое наибольшее количество шаров удастся упаковать?
Ответ: 9
3.3. На склад поступили 11 шаров разного диаметра: 25, 20, 26, 24, 17, 26, 26, 12, 16, 26, 12. А также 11 кубических коробок, у каждой задана длина ребра: 26, 20, 21, 10, 12, 18, 17, 23, 12, 19, 21. Упаковщик может положить шар только в такую коробку, длина ребра которой не меньше диаметра шара. Каждый шар можно упаковать только в одну коробку, и в каждую коробку можно положить не более одного шара. Какое наибольшее количество шаров удастся упаковать?
Ответ: 6
3.4. На склад поступили 11 шаров разного диаметра: 22, 21, 27, 27, 26, 17, 24, 22, 14, 18, 22. А также 11 кубических коробок, у каждой задана длина ребра: 24, 20, 29, 29, 15, 20, 10, 22, 10, 14, 14. Упаковщик может положить шар только в такую коробку, длина ребра которой не меньше диаметра шара. Каждый шар можно упаковать только в одну коробку, и в каждую коробку можно положить не более одного шара. Какое наибольшее количество шаров удастся упаковать?
Ответ: 7
4. В кулинарной академии 13 поваров, один из которых известен как «Спец по специям». Эксперт сравнивает одно и то же блюдо, приготовленное любыми двумя кулинарами, и решает, у кого получилось лучше. Ничья невозможна: либо блюдо повара А вкуснее, чем у повара В, либо наоборот. Выберите все утверждения, которые обязательно верны:
Как минимум 12 поваров хотя бы раз проигрывают в сравнении
Существует повар, проигравший соперникам хотя бы шесть раз
Блюдо «Спеца по специям» эксперт оценивает хуже хотя бы пяти других
Для каждого повара найдётся хотя бы один соперник, чьё блюдо оказалось лучше, и хотя бы один соперник, чьё блюдо оказалось хуже
Ответ: 1 и 2 верные
4.3. На бирже 13 компаний. Для каждой пары компаний верно, что ровно одна из них купила акции другой: либо компания А вложилась в компанию В, либо компания В вложилась в компанию А. Одна из компаний известна под названием «Альфа». Выберите все утверждения, которые обязательно верны:
Как минимум 12 компаний получили инвестиции хотя бы от одной другой
В компанию «Альфа» инвестировали не более 5 других
Существует компания, которая вложилась как минимум в 6 других
Есть компания, которая вложилась ровно в 6 других компаний
Ответ: 1 ,3, 4 верные
5. Какое наименьшее значение принимает функция f(f(f(x))), если f(x) = x2 + 12x + 34?
Ответ: 398
Ответ: 898
Ответ: 897
6. На чертеже представлена трапеция, у которой указаны длины сторон, а также указано, что некоторые углы — прямые. Точка соединена с серединами всех четырёх сторон трапеции. Четыре образовавшихся четырёхугольника равновелики (то есть имеют одинаковую площадь). Найдите расстояние от точки Q до стороны А.В. Найдите длину отрезка AQ.
7. У Жоры есть положительная несократимая дробь, числителем которой является натуральное число. Если Жора увеличит и числитель, и знаменатель дроби на некоторое число n, то значение дроби увеличится в 3 раза, а если уменьшит на n, то увеличится в 4 раза. Найдите n.
7.2. У Жоры есть положительная несократимая дробь, числителем которой является натуральное число. Если Жора увеличит и числитель, и знаменатель дроби на некоторое число n, то значение дроби увеличится в 6 раз, а если уменьшит на n, то увеличится в 7 раз. Найдите n.
7.3. У Жоры есть положительная несократимая дробь, числителем которой является натуральное число. Если Жора увеличит и числитель, и знаменатель дроби на некоторое число n, то значение дроби увеличится в 4 раза, а если уменьшит на n, то увеличится в 5 раз. Найдите n.
8. У Саши и Юры есть по игральному кубику. Одна грань кубика Саши пустая, а на других написаны числа 10, 3, 12, 15, 1. Одна грань кубика Юры тоже пустая, а на других написаны числа 18, 19, 14, 6, 21. Юра выбирает натуральное число №, записывает его на пустые грани обоих кубиков, а потом мальчики бросают свои кубики. Выигрывает тот, у кого выпадет большее число; при равенстве очков объявляется ничья. Какое значение № может выбрать Юра, чтобы вероятность его победы была наибольшей? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
8.2. У Саши и Юры есть по игральному кубику. Одна грань кубика Саши пустая, а на других написаны числа 10, 3, 12, 15, 1. Одна грань кубика Юры тоже пустая, а на других написаны числа 18, 19, 14, 6, 21. Юра выбирает натуральное число №, записывает его на пустые грани обоих кубиков, а потом мальчики бросают свои кубики. Выигрывает тот, у кого выпадет большее число; при равенстве очков объявляется ничья. Какое значение № может выбрать Юра, чтобы вероятность его победы была наибольшей? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Олимпиада по математике 11 класс школьный этап 2025
1. На доске была написана невозрастающая последовательность натуральных чисел a1 > aq > … > a5. Саша написал на листочке другую последовательность: сколько среди а чисел, больших или равных 1, сколько — больше или равных 2 и далее до тех пор, пока ему не пришлось бы написать О. Юра стёр числа с доски. На листочке у Саши остались числа 5, 5, 3, 1. Какая последовательность была записана на доске?
Ответ: 4, 3, 3, 2, 2
1.2. На доске была написана невозрастающая последовательность натуральных чисел a1 > a … > a5. Саша написал на листочке другую последовательность: сколько среди а чисел, больших или равных 1, сколько — больше или равных 2 и далее до тех пор, пока ему не пришлось бы написать О. Юра стёр числа с доски. На листочке у Саши остались числа 5, 3, 2, 1. Какая последовательность была записана на доске?
Ответ: 4, 3, 3, 1
2. У Жоры есть три одинаковые колоды, в каждой — 8 карточек с числами от 1 до 8. Сначала он наугад вытаскивает по одной карточке из первых двух колод. Если числа на них совпадают, он дополнительно вытаскивает наугад карточку из третьей колоды. Какова вероятность того, что сумма всех вытащенных чисел окажется чётной?
Ответ: 1\2
2.2. У Жоры есть три одинаковые колоды, в каждой — 6 карточек с числами от 1 до 6. Сначала он наугад вытаскивает по одной карточке из первых двух колод. Если числа на них совпадают, он дополнительно вытаскивает наугад карточку из третьей колоды. Какова вероятность того, что сумма всех вытащенных чисел окажется нечётной?
Ответ: 7/12
2.3. У Жоры есть три одинаковые колоды, в каждой — 8 карточек с числами от 1 до 8. Сначала он наугад вытаскивает по одной карточке из первых двух колод. Если числа на них совпадают, он дополнительно вытаскивает наугад карточку из третьей колоды. Какова вероятность того, что сумма всех вытащенных чисел окажется нечётной?
Ответ: 1/2
3. Юра выложил в ряд 2025 монет. Если он уберёт первую треть монет слева, то как минимум половина из оставшихся окажется лежащей орлом вверх. То же самое происходит, если Юра убирает последние 48 % монет справа — среди оставшихся как минимум половина повёрнута орлом вверх. Какое минимальное количество монет может лежать орлом вверх?
Ответ: 824
3.2. Юра выложил в ряд 2025 монет. Если он уберёт первые две трети монет слева, то как минимум половина из оставшихся окажется лежащей орлом вверх. То же самое происходит, если Юра убирает последние 20% монет справа — среди оставшихся как минимум половина повёрнута орлом вверх. Какое минимальное количество монет может лежать орлом вверх?
Ответ: 878
3.3. Юра выложил в ряд 2025 монет. Если он уберёт первую треть монет слева, то как минимум половина из оставшихся окажется лежащей орлом вверх. То же самое происходит, если Юра убирает последние 40% монет справа — среди оставшихся как минимум половина повёрнута орлом вверх. Какое минимальное количество монет может лежать орлом вверх?
Ответ: 743
4. На сторонах АС и ВС, а также на продолжении стороны АВ равностороннего треугольника АВС отмечены точки F, D и Е соответственно так, что D — середина EF. Длины отрезков BD и DC приведены на рисунке. Найдите EF2.
Ответ: 268
5. Коэффициенты многочлена Р(х) — неотрицательные целые числа. Известно, что P(2) = 100, P(P(2)) = 201061016. Найдите значение Р(0). Найдите значение Р(1).
Ответ: Р(0) — 16, Р(1) — 35.
5.3. Коэффициенты многочлена Р(х) — неотрицательные целые числа. Известно, что P(2) = 100, P(P(2)) = 102041522. Найдите значение Р(0). Найдите значение Р(1).
Ответ: Р(0) — 22, Р(1) — 44.
6. Наташа и Петя играют в игру. Вначале Наташа первой называет целое число от 1 до 64. Затем Петя называет своё число — от 1 до 93. После этого Наташа называет число от 1 до 96. Если сумма всех трёх названных чисел делится на 100, побеждает Наташа. Иначе побеждает Петя. Какое число Наташа должна назвать первым, чтобы при любом выборе Пети она могла победить? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте B отдельное поле, добавляя их при необходимости.
6.3. Наташа и Петя играют в игру. Вначале Наташа первой называет целое число от 1 до 48. Затем Петя называет своё число — от 1 до 62. После этого Наташа называет число от 1 до 65. Если сумма всех трёх названных чисел делится на 76, побеждает Наташа. Иначе побеждает Петя. Какое число Наташа должна назвать первым, чтобы при любом выборе Пети она могла победить? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
7. Пусть х, у, 2 — такие положительные действительные числа, что выполнены следующие равенства: xlog2(yz) = 23.34, 310g2(22) = 24.38, 2log2(xy) = 23. 312. Найдите значение произведения хух. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
8. Одинаковые ветряные турбины расположены на одинаковом расстоянии а друг от друга вдоль прямой линии. Каждая башня турбины представляет собой вертикальный цилиндр радиусом 3 метра. Пусть 1 — прямая, проходящая через центры оснований всех башен. Наблюдатель находится в точке О на той же плоскости, причём проекция О на 1 совпадает с одним из центров турбины, расстояние от точки О до точки 1 на рисунке. При разных значениях а число полностью видимых башен может быть разным. Найдите наибольшее число башен, которые могут быть полностью видны. Башня 1 полностью видна, если отрезки касательных из точки О до башни т не пересекают (но могут касаться) другие башни. Башен очень много в обе стороны от наблюдателя.
8.2. Одинаковые ветряные турбины расположены на одинаковом расстоянии в друг от друга вдоль прямой линии. Каждая башня турбины представляет собой вертикальный цилиндр радиусом 5 метров. Пусть 1 — прямая, проходящая через центры оснований всех башен. Наблюдатель находится в точке О на той же плоскости, причём проекция О на 1 совпадает с одним из центров турбины, расстояние от точки О до точки / на рисунке. При разных значениях в число полностью видимых башен может быть разным. Найдите наибольшее число башен, которые могут быть полностью видны. Башня 1 полностью видна, если отрезки касательных из точки О до башни T не пересекают (но могут касаться) другие башни. Башен очень много в обе стороны от наблюдателя.
15 октября олимпиаду Сириус по математике 4-11 класс пишет 1-2 группа: Архангельская область 2. Волгоградская область 3. Вологодская область 4. город Севастополь 5. Донецкая Народная Республика 6. Запорожская область 7. Кабардино-Балкарская Республика 8. Карачаево-Черкесская Республика 9. Краснодарский край 10. Луганская Народная Республика 11. Мурманская область 12. Новгородская область 13. Псковская область 14. Республика Адыгея 15. Республика Дагестан 16. Республика Калмыкия 17. Республика Коми 18. Республика Крым 19. Республика Северная Осетия — Алания 20. Ростовская область 21. Ставропольский край.
22. Херсонская область 23. Чеченская Республика 24. Белгородская область 25. Брянская область 26. Владимирская область 27. Воронежская область 28. город Санкт-Петербург 29. Ивановская область 30. Калининградская область 31. Калужская область 32. Кировская область 33. Костромская область 34. Курская область 35. Ленинградская область 36. Липецкая область 37. Нижегородская область 38. Орловская область 39. Республика Марий Эл 40. Республика Мордовия 41. Республика Татарстан 42. Республика Чувашия 43. Рязанская область 44. Смоленская область 45. Тамбовская область 46. Тверская область 47. Тульская область 48. Ярославская область.
